Soal Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

1. Diketahui :

$f=\left\{\right(2,4),(3,7),(5,13),(7,19\left)\right\}$, $g=\left\{\right(5,20),(7,28),(13,52\left)\right\}$, dan $h=\left\{\right(20,-15),(28,-23),(52,-47\left)\right\}$. Hasil dari $(h\circ g\circ f)\left(5\right)$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-47$                     D. $20$
B. $-23$                     E. $28$
C. $-15$

Jawab:

Perhatikan bahwa pada fungsi $f$, bilangan $5$ dipetakan ke $13$ sehingga menjadi $(5,13)$. 
Lalu pada fungsi $g$, bilangan $13$ dipetakan ke $52$ sehingga menjadi $(13,52)$. 
Terakhir pada fungsi $h$, bilangan $52$ dipetakan ke $-47$ sehingga menjadi $(52,-47)$.

Jadi hasilnya adalah -47 (a)

2. Diketahui f -1 (4x-5) = 3x-1 dan (f -1 ◦ f)(5)= p2 +2p – 10 maka rata-rata dari nilai p adalah…

a. -4

b. -2

c. -1

d. 1

e. 4

Jawab:

f (x) = y ↔ f -1 (y) = x
f (5) = y
f –1 (4x-5) = 3x-1
sehingga 3x-1 = 5
x = 2 dan y = 4x-5 = 3
x = 2

Menentukan nilai p

(f– -1 ◦ f)(5) = p2 + 2p-10
f -1 (f(5)) = p2 + 2p – 10
f—1(3) = p2 + 2p – 10
3(2)-1 = p2 + 2p – 10
p2 + 2p – 1 = 0
(p + 5)(p – 3) = 0
p = -5 dan p = 3

Sehingga, rata-rata nilai p yaitu (c)

3. Sebuah pemetaan f:R→R dengan (g ◦ f)(x) = 2x2 + 4 x + 5 dan g(x) = 2x + 3. Maka f(x)=…a. x2 + 2x + 1

b. x2 + 2x + 2

c. 2x2 + x + 2

d. 2x2 + 4x + 2

e. 2x2 + 4x + 1

Jawab:

Menentukan f(x)

(g ◦ f)(x) = 2x2 + 4x + 5
g(f(x)) = 2x2 + 4x + 5
2(f(x)) + 3 = 2x2 + 4x + 5
f(x) = x2 + 2x + 1 (a)

4. Jika g(x – 2) = 2x – 3 dan (f ◦ g)(x – 2) = 4x2 – 8x + 3, maka f(-3) =…

a. -3

b. 0

c. 3

d. 12

e. 15

Jawab:

g(x – 2) = 2x – 3
(f ◦ g)(x – 2) = 4x2 – 8x + 3
f(g(x – 2)) = 4x2 – 8x + 3
f(2x – 3) = 4x2 – 8x + 3

Menentukan f(-3)
Jika -3 = 2x – 3 maka x = 0
Sehingga:
f(-3) = 4(0)2 – 8(0) + 3 = 3 (c)

5. Misalkan f : R→ R dan g : R→R, f(x) = x + 2 dan (g ◦ f)(x) = 2x2 + 4x – 6, Misalkan juga x1dan x2 adalah akar-akar dari g(x) = 0 maka x1 + 2x2 =…

a. 0

b. 1

c. 3

d. 4

e. 5

Jawab:

Menentukan g(x).

(g ◦ f)(x) = 2x2 + 4x – 6
g(f(x)) = 2x2 + 4x – 6
g(x+2) = 2x2 + 4x -6
g(x) = 2(x – 2)2 + 4(x – 2) – 6 = 2x2 – 8x + 8 + 4x – 8 – 6 = 2x2 – 4x – 6

Menentukan x1 + 2x2

g(x) = 0
2x2 – 4x – 6 = 0
x2 – 2x – 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x1=3 →x2 = -1, jadi 3
x1 = 2x2 = 3+2 (-1) = 1

atau

x1 = -1 → x2 = 3, jadi
x1 + 2x2 = (-1) + 2(3) = 5 (e)

6. Jika f (x) = (x + 3) / (x – 2), f-1 (x) = …

A. (2x + 3) / (x – 1)
B. (x – 3) / (x + 2)
C. (2x + 3) / (x +1)
D. (-2x + 3) / (x + 1)
E. (-x + 3) / (x – 2)

Jawab:

Biarkan f (x) = y

y. = (x + 3) atau (x – 2)
y (x – 2) = x + 3
yx – 2y = x + 3
yx – x = 2thn + 3
x (y – 1) = 2y + 3

x = (2y + 3) / (y – 1) Kemudian ganti x dengan f-1 (x) dan y dengan x

f-1 (x) = (2x + 3) / (x-1) (a)

7. Diketahui fungsi f(x) = x − 4 dan g(x) = x2 − 3x+ 7. Fungsi komposisi (g ∘ f)(x) = ….

a. x2 − 3x + 3

b. x2 − 3x + 11

c. x2 − 11x + 15

d. x2 − 11x + 27

e. x2 − 11x + 35

Jawab: 

(g ∘ f)(x) = g[f(x)]

Letak fungsi g ada di depan sehingga kita harus berpatokan pada fungsi g(x).

g(x) = x2 − 3x + 7 

g[f(x)] = [f(x)]2 − 3f(x) + 7 

= (x − 4)2 − 3(x − 4) + 7 

= x2 − 8x + 16 − 3x + 12 + 7 

= x2 − 11x + 35 (e)