Soal Kehidupan Sehari-hari Dari SPLTV

 Soal Kehidupan Sehari-hari Dari SPLTV

1. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

Penyelesaian:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

x + 3y + 2z = 33.000

2x + y + z = 23.500

x + 2y + 3z = 36.500

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

• Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2

x + 3y + 2z	=	33.000	|× 2|	→	2x + 6y + 4z	=	66.000
2x + y + z	=	23.500	|× 1|	→	2x + y + z	=	23.500	−
					5y + 3z	=	42.500

• Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3

x + 3y + 2z	=	33.000
x + 2y + 3z	=	36.500	−
y – z	=	−3.500
y	=	z – 3.500

Subtitusikan y = z – 3.500 ke persamaan 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:

⇒ 5y + 3z = 42.500

⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500

⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500

⇒ 8z – 17.500 = 42.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 60.000

⇒ z = 7.500

Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒ y = z – 3.500

⇒ y = 7.500 – 3.500

⇒ y = 4.000

Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x + 3y + 2z = 33.000

⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000

⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⇒ x + 27.000 = 33.000

⇒ x = 33.000 – 27.000

⇒ x = 6.000

Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.

2. Bu Sari mempunyai uang pecahan lima ribuan, sepuluh ribuan, dan dua puluh ribuan. Jumlah uang tersebut adalah Rp160.000,00. Uang pecahan sepuluh ribuan 6 lembar lebih banyak daripada uang pecahan lima ribuan. Banyak lembar uang pecahan dua puluh ribuan dua kali banyak lembar uang pecahan lima ribuan. Jika x menyatakan banyak lembar uang lima ribuan, y menyatakan banyak lembar uang sepuluh ribuan, dan z menyatakan banyak lembar uang dua puluh ribuan, maka SPLTV yang menyatakan hubungan pecahan-pecahan uang tersebut adalah...

Penyelesaian:

Dimisalkan bahwa $x,y,z$ berturut-turut menyatakan banyak lembar uang lima ribuan, sepuluh ribuan, dan dua puluh ribuan.
Jumlah uang Bu Sari adalah Rp160.000,00. Secara matematis, ditulis
$5.000x+10.000y+20.000z=160.000$
dan disederhanakan menjadi
$x+2y+4z=32$
Uang pecahan sepuluh ribuan $6$ lembar lebih banyak daripada uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$y=x+6\iff x-y=-6$
Banyak lembar uang pecahan dua puluh ribuan dua kali banyak lembar uang pecahan lima ribuan. Secara matematis, ditulis
$z=2x\iff 2x-z=0$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV

$\{\begin{array}{cc}x+2y+4z& =32\\ x-y& =-6\\ 2x-z& =0\end{array}$

Sebuah toko alat tulis menyediakan spidol aneka warna. Perbandingan antara banyak spidol biru dan spidol merah adalah 3:4. Perbandingan antara banyak spidol merah dan spidol hitam adalah 4:5. Jumlah ketiga jenis spidol tersebut adalah 430 buah. Jika x, y, z berturut-turut menyatakan banyak spidol biru, merah, dan hitam, maka SPLTV yang menyatakan hubungan ketiga jenis spidol adalah...

Penyelesaian:

Dimisalkan $x,y,z$ berturut-turut menyatakan banyak spidol biru, merah, dan hitam.
Perbandingan antara banyak spidol biru $\left(x\right)$ dan spidol merah $\left(y\right)$ adalah $3:4$. Secara matematis, ditulis
$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}\iff x=\frac{3}{4}y$
Perbandingan antara banyak spidol merah $\left(y\right)$ dan spidol hitam $\left(z\right)$ adalah $4:5$. Secara matematis, ditulis
$\frac{y}{z}=\frac{4}{5}\iff y=\frac{4}{5}z$
Jumlah ketiga jenis spidol tersebut adalah $430$ buah. Secara matematis, ditulis
$x+y+z=430$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV

$\begin{array}{cc}x& =\frac{3}{4}y\\ y& =\frac{4}{5}z\\ x+y+z& =430\end{array}$

4. Farly mempunyai kelereng merah, biru, dan hijau. Perbandingan antara banyak kelereng merah dan biru adalah 3 : 4. Jumlah kelereng merah dan hijau adalah 27. Jika dua kali banyak keleren biru ditambah banyak kelereng hijau sama dengan 37, maka banyak kelereng merah, biru, dan hijau berturut-turut yang dimiliki Farly adalah...

Penyelesaian:

Misalkan $x,y,z$ berturut-turut menyatakan banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau.
Perbandingan antara banyak kelereng merah $\left(x\right)$ dan biru $\left(y\right)$ adalah $3:4$. Secara matematis, ditulis
$\frac{x}{y}=\frac{3}{4}\iff 4x-3y=0$
Jumlah kelereng merah $\left(x\right)$ dan hijau $\left(z\right)$ adalah $27$. Secara matematis, ditulis
$x+z=27$
Dua kali banyak kelereng biru $\left(y\right)$ ditambah banyak kelereng hijau $\left(z\right)$ sama dengan $37$. Secara matematis, ditulis
$2y+z=37$
Dengan demikian, diperoleh SPLTV
$\{\begin{array}{cccc}4x-3y& =0& & (\cdots 1)\\ x+z& =27& & (\cdots 2)\\ 2y+z& =37& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $x$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}4x-3y& =0\\ x+z& =27\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 4\end{array}\right|& \begin{array}{cc}4x-3y& =0\\ 4x+4z& =108\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cccc}3y+4z& =108& & (\cdots 4)\end{array}\end{array}$$Eliminasi $z$ dari persamaan $\left(3\right)$ dan $\left(4\right)$.
$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}2y+z& =37\\ 3y+4z& =108\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 4\\ \times 1\end{array}\right|& \begin{array}{cc}8y+4z& =148\\ 3y+4z& =108\end{array}\\ & –\\ & \begin{array}{cc}5y& =40\\ y& =8\end{array}\end{array}$
Substitusi $y=8$ pada persamaan $\left(3\right)$.
$\begin{array}{cc}2y+z& =37\\ 2\left(8\right)+z& =37\\ 16+z& =37\\ z& =21\end{array}$
Substitusi $z=21$ pada persamaan $\left(2\right)$.
$\begin{array}{cc}x+z& =27\\ x+21& =27\\ x& =6\end{array}$
Jadi, banyaknya kelereng merah, biru, dan hijau berturut-turut adalah 6, 8, dan 21.

5. Untuk suatu acara pertunjukan dijual tiket dengan harga tiket dewasa Rp33.000,00, tiket remaja Rp24.000,00, dan tiket anak-anak Rp9.000,00. Pada hari pembukaan, jumlah tiket anak-anak dan remaja yang terjual 30 lebih banyak dari ½ jumlah tiket dewasa yang terjual. Jumlah tiket remaja yang terjual 5 lebih banyak dari 4 kali jumlah tiket anak-anak yang terjual. Jika jumlah hasil penjualan tiket seluruhnya Rp89.820.000,00, maka remaja yang menonton pertunjukan pada hari pembukaan sebanyak ...

Penyelesaian: 

Misalkan harga masing-masing tiket dewasa, remaja, dan anak-anak adalah $D,R$, dan $A$.
Diketahui harga tiket dewasa Rp33.000,00, tiket remaja Rp24.000,00, dan tiket anak-anak Rp9.000,00 dan hasil penjualan tiket seluruhnya Rp89.820.000,00. Secara matematis, ditulis
$\begin{array}{cc}33.000D& +24.000R+9.000A\\ & =\mathrm{89.820.000}\end{array}$
Sederhanakan (bagi $1.000$).
$33D+24R+9A=89.820$
Jumlah tiket anak-anak dan remaja yang terjual $30$ lebih banyak dari $\frac{1}{2}$ jumlah tiket dewasa yang terjual. Secara matematis, ditulis
$A+R=\frac{1}{2}D+30$
yang ekuivalen dengan
$-D+2R+2A=60$
Jumlah tiket remaja yang terjual $5$ lebih banyak dari $4$ kali jumlah tiket anak-anak yang terjual. Secara matematis, ditulis
$R=4A+5\iff R-4A=5$
Dengan demikian, diperoleh SPLDV
$\{\begin{array}{cccc}33D+24R+9A& =89.820& & (\cdots 1)\\ -D+2R+2A& =60& & (\cdots 2)\\ R-4A& =5& & (\cdots 3)\end{array}$
Eliminasi $D$ dari persamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}33D+24R+9A& =89.820\\ -D+2R+2A& =60\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 1\\ \times 33\end{array}\right|& \begin{array}{cc}33D+24R+9A& =89.820\\ -33D+66R+66A& =1.980\end{array}\\ & +\\ & \begin{array}{cccc}90R+75A& =91.800& & \\ 6R+5A& =6.120& & (\cdots 4)\end{array}\end{array}$$Eliminasi $A$ dari persamaan $\left(3\right)$ dan $\left(4\right)$.
$$\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}R-4A& =5\\ 6R+5A& =6.120\end{array}\left|\begin{array}{c}\times 5\\ \times 4\end{array}\right|& \begin{array}{cc}5R-20A& =25\\ 24R+20A& =24.480\end{array}\\ & +\\ & \begin{array}{cc}29R& =24.505\\ R& =845\end{array}\end{array}$$Jadi, remaja yang menonton pertunjukan pada hari pembukaan sebanyak $845$ orang.