Persamaan Kuadrat-Linear dan Kuadrat-Kuadrat
Persamaan Kuadrat-Linear
Sistem persamaan linear dan kuadrat atau disingkat SPLK adalah sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang masing-masing bervariabel dua. Contoh SPLK adalah sebagai berikut.
y = 2 – x ………………. Persamaan (1)
y = x2 – 3x + 2 ……… Persamaan (2)
Nah, pada kesempatan kali ini kita akan menyajikan kumpulan contoh soal dan pembahasan tentang sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK) dengan menggunakan berbagai macam metode.
Contoh:
1. Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear dua variable dan kuadrat sebagai berikut:
(i) y = 2x + 3
(ii) y = x2 − 4x + 8
Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua persamaan tersebut di atas!
Penyelesaian:
Substitusikan y dari persamaan (i) ke y pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii) ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar.
x2 − 4x + 8 = 2x + 3
x2 − 4x + 8 − 2x − 3 = 0
x2 − 6x + 5 = 0
Berikutnya faktorkan:
x2 − 6x + 5 = 0
(x − 1)(x − 5) = 0
Dapatkan nilai x yang pertama:
x − 1 = 0
x = 1
Dapatkan nilai x yang kedua:
x − 5 = 0
x = 5
Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi nilai x ke persamaan (i):
Untuk x = 1 maka
y = 2x + 3
y = 2(1) + 3
y = 2 + 3
y = 5
Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)
Untuk x = 5 maka
y = 2x + 3
y = 2(5) + 3
y = 10 + 3
y = 13
Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)
Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}
2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
y = x2 – 1
x – y = 3
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.
y = x – 3
subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x – 3 = x2 – 1
⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0
⇒ x2 – x + 2 = 0
Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:
D = b2 – 4ac
D = (−1)2 – 4(1)(2)
D = 1 – 8
D = −7
Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.
3. Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:
(i) y = 5x + 4(ii) y = x2 + 13x − 16
Penyelesaian:
x2 + 13x − 16 = 5x + 4
x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0
x2 + 8x − 20 = 0
(x + 10)(x − 2) = 0
Nilai x yang pertama
x + 10 = 0
x = − 10
Nilai x yang kedua
x − 2 = 0
x = 2
Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:
Untuk x = − 10 didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(−10) + 4 = − 46
Untuk x = 2, didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(2) + 4 = 14
Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}
x2 + 13x − 16 − 5x − 4 = 0
x2 + 8x − 20 = 0
(x + 10)(x − 2) = 0
Nilai x yang pertama
x + 10 = 0
x = − 10
Nilai x yang kedua
x − 2 = 0
x = 2
Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:
Untuk x = − 10 didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(−10) + 4 = − 46
Untuk x = 2, didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(2) + 4 = 14
Hp : {(− 10, − 46), (2, 14)}
4. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.
x + y + 2 = 0
y = x2 – x – 2
Penyelesaian:
Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.
y = −x – 2
Subtitusikan nilai y = −x – 2 ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ −x – 2 = x2 – x – 2
⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0
⇒ x2 = 0
⇒ x = 0
Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:
⇒ y = −(0) – 2
⇒ y = –2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.
Persamaan Kuadrat-Kuadrat
Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut.
Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.
Contoh:
1. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2
y = 2x2 – 3x
Penyelesaian:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:
⇒ x2 = 2x2
⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0
⇒ x2 – 3x = 0
⇒ x(x – 3) = 0
⇒ x = 0 atau x = 3
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.
■ Untuk x = 0 diperoleh:
⇒ y = x2
⇒ y = (0)2
⇒ y = 0
■ Untuk x = 3 diperoleh:
⇒ y = x2
⇒ y = (3)2
⇒ y = 9
Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.
2. Tentukan nilai a agar sistem persamaan y = ax2 + 2x - 7 dan y = 3x2 - 4x + 8, himpunan penyelesaianya adalah himpunan kosong ({ }).
Penyelesaian:
y = ax2 + 2x - 7
y = 3x2 - 4x + 8
Substitusi y = ax2 + 2x - 7 ke y = 3x2 - 4x + 8 maka,
ax2 + 2x - 7 = 3x2 - 4x + 8
ax2 + 2x - 7 - 3x2 + 4x - 8 = 0
ax2 - 3x2 + 6x - 15 = 0
(a - 3)x2 + 6x - 15 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D < 0) maka
62 - 4(a - 3)(-15) < 0
y = ax2 + 2x - 7
y = 3x2 - 4x + 8
Substitusi y = ax2 + 2x - 7 ke y = 3x2 - 4x + 8 maka,
ax2 + 2x - 7 = 3x2 - 4x + 8
ax2 + 2x - 7 - 3x2 + 4x - 8 = 0
ax2 - 3x2 + 6x - 15 = 0
(a - 3)x2 + 6x - 15 = 0
Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D < 0) maka
62 - 4(a - 3)(-15) < 0
36 + 60a - 180 < 0
60a - 144 < 0
60a < 144
a < 144/60
a < 12/5
Jadi, nilai a agar penyelesaian sistem persamaannya himpunan kosong adalah a < 12/5
60a - 144 < 0
60a < 144
a < 144/60
a < 12/5
Jadi, nilai a agar penyelesaian sistem persamaannya himpunan kosong adalah a < 12/5
3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = x2 – 1
y = x2 – 2x – 3
Penyelesaian:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:
⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3
⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1
⇒ 2x = –2
⇒ x = –1
Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:
⇒ y = x2 – 1
⇒ y = (–1)2 – 1
⇒ y = 1 – 1
⇒ y = 0
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.
4. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.
y = −2x2
y = x2 + 2x + 1
Penyelesaian:
Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:
⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1
⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0
⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0
Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.
D = b2 – 4ac
Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:
⇒ D = (2)2 – 4(3)(1)
⇒ D = 4 – 12
⇒ D = –8
Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.
Komentar
Posting Komentar