LUAS SEGI-n BERATURAN, JARI-JARI LINGKARAN LUAR DAN LINGKARAN DALAM SEGITIGA, GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR/DALAM LINGKARAN

Luas Segi-n Beraturan

Bangun datar segi n beraturan dapat dihitung luasnya menggunakan rumus aturan sinus pada luas segitiga. Luas segitita yang digunakan tersebut dinyatakan dalam rumus seperti berikut:

Luas Segitiga = ½.r.r.sin θ = ½ r² sin 360°/n

Rumus segitiga di atas didasarkan pada aturan sinus sehingga luas segi n beraturannya dapat dicari. Maka dari itu persamaan rumus luas segi n beraturan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk seperti berikut:

Luas segi n = n × Luas Segitiga
Luas segi n = n/2 r² sin 360°/n

Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran yang diberikan pada pembahasan ini berada di luar segitiga. Seperti judulnya “lingkaran luar segitiga” artinya ada lingkaran diluar segitiga. Ketiga titik sudut pada segitiga tersebut terletak pada lingkaran. Secara lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah!

Persamaan di bawah merupakan rumus mencari jari-jari lingkaran luar segitiga.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga

$r = \frac{AB \times AC \times BC}{4 \times L_{\Delta ABC}}$

atau

$r = \frac{abc}{4 \times L_{\Delta ABC}}$

Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Materi lingkaran dalam segitiga melibatkan dua bangun yaitu lingkaran dan segitiga. Materi pertama mengenai bangun lingkaran yang berada dalam segitiga. Perhatikan gambar berikut!

Rumus mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga.

Rumus Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

dengan $s = \frac{1}{2} \left(a + b + c \right)$

Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran persekutuan luar melibatkan dua lingkaran dan sebuah garis singgung lingkaran. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar di bawah.

Garis AB adalah garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. Konsep untuk mengetahui panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah teorema pythagoras. Langkah pertama adalah proyeksikan titik P ke garis OA. Panjang garis PP’ sama dengan garis AB, sehingga dengan menghitung panjang PP’ maka kita juga akan mendapatkan panjang AB (garis singgung persekutuan dua lingkaran).

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

$PP' = \sqrt{OP^{2}-\left( OP'\right)^{2}}$

Karena $OP' = OA - BP = R - r$ maka,

$PP' = \sqrt{OP^{2} - \left( R - r\right)^{2}}$

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan luar dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran:

$AB = PP' = \sqrt{OP^{2}-(R-r)^{2}}$

Keterangan:

AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran

OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran

R = Jari-jari lingkaran besar

r = jari-jari lingkaran kecil

Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran

Seperti halnya garis singgung persekutuan luas dua lingkaran, garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran juga melibatkan dua buah lingkaran dan sebuah garis singgung. Bedanya terletak pada posisi garis singgung lingkaran. Dua titik singgung lingkaran pada garis singgung persekutuan luar dua lingkaran terletak di sisi yang sama. Sedangkan dua titik singgung lingkaran pada garis singggung persekutuan dalam dua lingkaran terletak bersebrangan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah!

Sama halnya dengan garis singgung persekutuan dalam, garis singgung persekutuan luar juga didapat dengan menerapkan konsep teorema phytagoras.

Perhatikan bahwa segitiga PP’O merupakan segitiga siku-siku yang siku-siku di P’. Dengan teorema phytagoras dapat diperoleh panjang PP’ yaitu sebagai berikut.

$PP' = \sqrt{OP^{2}-\left( OP'\right)^{2}}$

Karena $OP' = OA + BP = R + r$ maka,

$PP' = \sqrt{OP^{2} - \left( R + r\right)^{2}}$

Sehingga, rumus garis singgung persekutuan dalam dua llingkaran dapat dinyatakan dalam rumus di bawah.

Rumus mencari panjang garis singgung persekutuan dalam

$AB = PP' = \sqrt{OP^{2} - (R + r)^{2}}$

Keterangan:

AB = PP’ = Garis singgung persekutuan luar lingkaran

OP = Jarak antara kedua pusat lingkaran

R = Jari-jari lingkaran besar

r = jari-jari lingkaran kecil

Contoh Soal

1. Hitunglah luas dan keliling segi enam beraturan yang mempunyai jari jari dengan panjang 10 cm?

Pembahasan.

Diketahui : n = 6; r = 10 cm

Ditanyakan : Luas dan keliling segi enam beraturan = ?

Jawab:

Contoh soal segi enam tersebut dapat dihitung luas dan kelilingnya menggunakan rumus di bawah ini:

Luas segienam = n/2 r² sin 360°/n

= 6/2 10² sin 360°/6

= 300 sin 60°

= 300 ½√3

= 150√3 cm²

Keliling = nr √(2 – 2 cos 360°/n)

= 6.10 √(2 – 2 cos 360°/6)

= 60 √(2 – 2.½)

= 60 √(2 -1)

= 60 √1

= 60 cm

Jadi luas segi enam beraturan dan keliling segi enam beraturan tersebut ialah 150√3 cm² dan 60 cm.

2. Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika panjang AC dan BC berturut-turut 8 cm dan 15 cm maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah ….

A. 5 cm

B. 3,5 cm

C. 3 cm

D. 2,5 cm

Pembahasan:

Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus berikut.

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

Dengan $s = \frac{1}{2}K_{\Delta ABC}$

Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu.

$AB^{2} = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}}$

$AB^{2} = \sqrt{8^{2} + 15^{2}}$

$AB^{2} = \sqrt{64 + 225}$

$AB^{2} = \sqrt{289} = 17 \; cm$

$K_{\Delta ABC} = AB + AC + BC$

$K_{\Delta ABC} = 17 + 8 + 15$

$K_{\Delta ABC} = 40 \; cm$

$s = \frac{1}{2} \times K_{\Delta ABC}$

$s = \frac{1}{2} \times 40 = 20 \; cm$

$L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times BC$

$L_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \times 8 \times 15$

$L_{\Delta ABC} = 60 \; cm^{2}$

Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga pada soal di atas adalah

$r = \frac{L_{\Delta ABC}}{s}$

$r = \frac{60}{20} = 3 \; cm$

Jawaban: C

3. Dua buah lingkaran memiliki panjang garis singgung persekutuan luar 24 cm dan jarak kedua titik pusat lingkaran 26 cm. Jika panjang jari-jari lingkaran besar 18 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ….

A. 6 cm

B. 8 cm

C. 9 cm

D. 10 cm

Pembahasan:

Berdasarkan data pada soal, kita dapat peroleh gambar di bawah.

garis singgung lingkaran persekutuan luar

$AB =\sqrt{OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}}$

$AB^{2} =OP^{2}-\left( R - r\right)^{2}$

$24^{2} =26^{2}-\left( 18 - r\right)^{2}$

$676 =576 - \left( 18 - r\right)^{2}$

$\left( 18 - r\right)^{2} =676 - 576$

$\left( 18 - r\right)^{2} = 100$

$18 - r = 10$

$- r = 10 -18$

$- r = -8 \rightarrow r = 8 \; cm$

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8 cm.
Jawaban: D

4. Perhatikan gambar berikut!

garis singgung lingkaran dalam

Panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang garis singgung AB adalah ….

A. 12 cm

B. 15 cm

C. 17 cm

D. 20 cm

Pembahasan:

$AB = \sqrt{OP^{2} - PC^{2}}$