Persamaan Kuadrat-Linear dan Kuadrat-Kuadrat

 Soal Persamaan Linear dan Kuadrat

1. Penyelesaian dari sistem persamaan

$$\{\begin{array}{cccc}y& =3x-5& & (\cdots 1)\\ y& =x^2-5x+7& & (\cdots 2)\end{array}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(-2,1)$ dan $(6,13)$
B. $(-2,-1)$ dan $(6,-13)$
C. $(2,-1)$ dan $(-6,13)$
D. $(2,1)$ dan $(6,13)$
E. $(2,1)$ dan $(-6,-13)$

Pembahasan:

Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut.
$$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2-5x+7& =3x-5\\ x^2-8x+12& =0\\ (x-6)(x-2)& =0\\ x=6\text{atau}x& =2\end{array}$$Substitusi nilai $x$ ke persamaan $\left(1\right)$, yaitu $y=3x-5$.
$$\begin{array}{cc}x=6& \Rightarrow y=3\left(6\right)-5=13\\ x=2& \Rightarrow y=3\left(2\right)-5=1\end{array}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(6,13)$ dan $(2,1)$.

(Jawaban D)

2. Himpunan penyelesaian dari SPLK 

$\{\begin{array}{c}x+y=0\\ x^2+y^2+8=0\end{array}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\left\{\right(2,-2),(-2,2\left)\right\}$
B. $\left\{\right(-2,-2),(2,2\left)\right\}$
C. $\left\{\right(4,-4),(-4,4\left)\right\}$
D. $\left\{\right(2,-4),(-4,4\left)\right\}$
E. $\left\{\right(2,2),(4,4\left)\right\}$

Pembahasan:

Diketahui SPLK
$$\{\begin{array}{cc}x+y=0& (\cdots 1)\\ x^2+y^2-8=0& (\cdots 2)\end{array}$$Persamaan $\left(1\right)$ dapat ditulis menjadi $y=-x$. Substitusikan pada persamaan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-8& =0\\ x^2+(-x{)}^2-8& =0\\ x^2+x^2& =8\\ 2x^2& =8\\ x^2& =4\\ x& =\pm 2\end{array}$$Jika $x=2$, maka diperoleh $y=-2$.
Jika $x=-2$, maka diperoleh $y=2$.
Jadi, HP SPLK tersebut adalah $\left\{\right(2,-2),(-2,2\left)\right\}$

(Jawaban A)

3. Misalkan penyelesaian SPLK 

$\{\begin{array}{c}x-y+1=0\\ x^2+y^2-13=0\end{array}$ adalah $(a,b)$ dan $(c,d)$. Nilai $a+b+c+d=\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $0$                    E. $12$
B. $-2$                     D. $3$

Pembahasan:

Diketahui SPLK
$$\{\begin{array}{cc}x-y+1=0& (\cdots 1)\\ x^2+y^2-13=0& (\cdots 2)\end{array}$$Persamaan $\left(1\right)$ dapat ditulis menjadi $y=x+1$. Substitusikan pada persamaan $\left(2\right)$.
$$\begin{array}{cc}{x}^2+y^2-13& =0\\ x^2+(x+1{)}^2-13& =0\\ x^2+(x^2+2x+1)-13& =\\ 2x^2+2x-12& =0\\ x^2+x-6& =0\\ (x+3)(x-2)& =0\\ x=-3\text{atau}x& =2\end{array}$$Jika $x=-3$, maka diperoleh $y=-2$.
Jika $x=2$, maka diperoleh $y=3$.
Jadi, penyelesaian SPLK tersebut adalah $(-3,-2)$ dan $(2,3)$, sehingga nilai $a+b+c+d=-3+(-2)+2+3=0$
Catatan: Karena yang ditanyakan adalah jumlah dari $a,b,c,d$, maka masing-masing nilainya tidak perlu dipermasalahkan bila ditukar-tukar, sebab hasil penjumlahannya pasti sama.

(Jawaban C)

4. Titik koordinat yang termasuk penyelesaian dari sistem persamaan 

$\{\begin{array}{cc}y& =2x+5\\ y& =x^2-3\end{array}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $(-4,13)$                       D. $(2,-1)$
B. $(-2,1)$                         E. $(4,11)$
C. $(0,-4)$

Pembahasan:

Pertama, cari titik potong dari grafik kedua persamaan tersebut.
$$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2-3& =2x+5\\ x^2-2x-8& =0\\ (x-4)(x+2)& =0\\ x=4\text{atau}x& =-2\end{array}$$Substitusi masing-masing dua nilai $x$ tersebut ke persamaan $y=2x+5$, sehingga diperoleh
$$\begin{array}{cc}x=4& \Rightarrow y=2\left(4\right)+5=13\\ x=-2\Rightarrow y=2(-2)+5=1& \end{array}$$Jadi, titik potongnya adalah $(4,13)$ dan $(-2,1)$.
Titik potong adalah titik koordinat yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
(Jawaban B)

5. Penyelesaian dari sistem persamaan

$$\{\begin{array}{cc}x-y=2& (\cdots 1)\\ x^2+16y^2-24xy-16=0& (\cdots 2)\end{array}$$adalah $\cdots \cdot$
A. $(6,4)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$
B. $(6,4)$ dan $(\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$
C. $(-4,-6)$ dan $(\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$
D. $(-4,-6)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$
E. $(-4,-6)$ dan $(6,4)$

Pembahasan:

Ubah persamaan $\left(1\right)$ menjadi
$$x=2+y(\cdots 3)$$Substitusi persamaan $\left(3\right)$ pada persamaan $\left(2\right)$. Kita peroleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2+16y^2-24xy-16=0& \\ (2+y{)}^2+16y^2-24(2+y)y-16& =0\\ y^2+4y+4+16y^2-48y-24y^2-16& =0\\ -7y^2-44y-12& =0\\ 7y^2+44y+12& =0\\ (7y+2)(y+6)& =0\\ y=-\frac{2}{7}\text{atau}y& =-6\end{array}$$Substitusi nilai $y$ ke persamaan $\left(1\right)$, yaitu $x=2+y$.
$$\begin{array}{cc}y=-\frac{2}{7}& \Rightarrow x=2+-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}\\ y=-6& \Rightarrow x=2+(-6)=-4\end{array}$$Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear-kuadrat tersebut adalah $(-4,-6)$ dan $(\frac{12}{7},-\frac{2}{7})$.
(Jawaban D)

Soal Persamaan Kuadrat-Kuadrat

1. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan  adalah

A. {(5,2),(2,3)}
B. {(2,-5),(2,-3)}
C. {(-2,5),(2,-3)}
D. {(-2,-3),(2,-5)}
E. {(-3,5),(2,-2)}
Pembahasan:
Substitusikan persamaan y = x2 -2x - 3 ke persamaan y = -x2 -2x + 5
x2 -2x - 3 = -x2 -2x + 5
<=> 2x2 -8 = 0
<=> x2 - 4 = 0
<=> (x - 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2
Untuk x = 2
y = x2 - 2x - 3
y = (2)2 -2 (2) - 3
y = 4 - 4 - 3
y = -3
Untuk x = -2
y = x2 - 2x - 3
y = (-2)2 -2 (-2) - 3
y = 4 + 4 - 3
y = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-2,5),(2,-3)} (Jawaban C)

2. 

3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.