Persamaan Linear Tiga Variabel

 Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel atau disingkat SPLTV adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear berderajat satu yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y, dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

ax + by + cz = d	atau	a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h		a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l		a3x + b3y + c3z = d3

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, I, a1, a2, a3 = koefisien dari x

b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y

c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z

d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

Namun dalam soal-soal matematika yang berhubungan dengan sistem persamaan linear tiga variabel terkadang kita menemui SPLTV yang berbentuk pecahan seperti sistem persamaan linear berikut ini.

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk pecahan dapat diselesaikan dengan menggunakan salah satu dari metode-metode berikut ini.

1. Metode Substitusi

2. Metode Eliminasi

3. Metode gabungan atau campuran

4. Metode determinan

5. Metode invers matriks

Contoh 1

Kita akan menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel yang berbentuk pecahan berikut ini.

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

• Ubah persamaan yang memuat pecahan menjadi bentuk baku. Caranya adalah dengan mengalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebut pecahannya yaitu sebagai berikut.

Persamaan 1

x	−	y	−	z	=	1
		2		4

KPK dari 1, 2 dan 4 adalah 4, oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 4 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z = 4

Persamaan 2

x	−	y	+	z	=	−1
3				2

KPK dari 3, 1, dan 2 adalah 6 oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 6 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

2x – 6y + 3z = −6

Persamaan 3 

−x	+	y	−	z	=	4
2		4		3		3

KPK dari 2, 4 dan 3 adalah 12 oleh karena itu, agar menjadi bentuk baku, kita kalikan kedua ruas dengan angka 12 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

−6x + 3y – 4z = 16

Dengan demikian, bentuk baku dari sistem persamaan linear tiga variabel bentuk pecahan di atas adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z = 4 ……………….. Pers. (1)

2x – 6y + 3z = −6 ………….. Pers. (2)

−6x + 3y – 4z = 16 .……….. Pers. (3)

• Setelah bentuk SPLTV kita dapatkan, langkah selanjutnya adalah menentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV tersebut dengan menggunakan salah satu dari 5 metode penyelesaian SPLTV di atas. Misalkan kita akan menggunakan metode campuran (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

1. Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah y sehingga kita akan mengeliminasi y dulu. Untuk menghilangkan peubah z, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing y dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

4x – 2y – z = 4 → koefisien y = –2

2x – 6y + 3z = −6 → koefisien y = –6

−6x + 3y – 4z = 16 → koefisien y = 3

Agar ketiga koefisien y sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dengan 3, persamaan kedua dengan 1, dan persamaan ketiga dengan 2. Sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

4x – 2y – z	=	4	|× 3|	→	12x – 6y – 3z	=	12
2x – 6y + 3z	=	−6	|× 1|	→	2x – 6y + 3z	=	−6
−6x + 3y – 4z	=	16	|× 2|	→	−12x + 6y – 8z	=	32

Setelah koefisien y ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita kurangkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel y hilang. Prosesnya seperti di bawah ini.

Dari persamaan pertama dan kedua:

12x – 6y – 3z	=	12
2x – 6y + 3z	=	−6	−
10x − 6z	=	18

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

2x – 6y + 3z	=	−6
−12x + 6y – 8z	=	32	+
−10x − 5z	=	26

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

10x – 6z = 18

−10x − 5z = 26

2. Metode Substitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan x sebagai berikut.

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x = 18 + 6z

Lalu kita subtitusikan persamaan y tersebut ke SPLDV kedua sebagai berikut.

⇒ −10x − 5z = 26

⇒ −(18 + 6z) − 5z = 26

⇒ −18 − 6z − 5z = 26

⇒ − 6z − 5z = 26 + 18

⇒ −11z = 44

⇒ z = −4

Kemudian, untuk menentukan nilai x, kita subtitusikan nilai z = −4 ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 10x – 6z = 18 sehingga kita peroleh:

⇒ 10x – 6z = 18

⇒ 10x – 6(−4) = 18

⇒ 10x + 24 = 18

⇒ 10x = 18 – 24

⇒ 10x = –6

⇒ x = –6/10

⇒ x = –3/5

Langkah terakhir yaitu menentukan nilai y. Untuk menentukan nilai y, kita subtitusikan nilai x = –3/5 dan z = x = –4 ke dalam salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan 4x – 2y – z = 4 sehingga kita peroleh:

⇒ 4x – 2y – z = 4

⇒ 4(–3/5) – 2y – (–4) = 4

⇒ –12/5 – 2y + 4 = 4

⇒ –2y = 4 – 4 + 12/5

⇒ –2y = 12/5

⇒ y = –12/10

⇒ y = –6/5

⇒ y = –11/5

Dengan demikian kita peroleh nilai x = –3/5, y = –11/5 dan z = –4  sehingga himpunan penyelesaian SPLTV di atas adalah {(–3/, –11/5, –4)}.

Contoh 2

1	+	2	+	4	=	1
x		y		z

−1	+	4	+	12	=	0
x		y		z

2	+	8	+	4	=	−1
x		y		z

Misalkan:

1	=	p	;	1	=	q	;	1	=	r
x				y				z

Dengan menggunakan permisalan ini, maka bentuk SPLTV pecahan di atas menjadi seperti berikut.

■ Persamaan pertama:

⇒ 1(1/x) + 2(1/y) + 4(1/z) = 1

⇒ p + 2q + 4r = 1

■ Persamaan kedua:

⇒ −1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0

⇒ −p + 4q + 12r = 0

■ Persamaan ketiga:

⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1

⇒ 2p + 8q + 4r = −1

Dengan demikian, kita telah memperoleh SPLTV bentuk baku dengan variabel p, q, dan r yaitu sebagai berikut.

p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1)

−p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (2)

2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. (3)

1. Metode Eliminasi (SPLTV)

Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana adalah p sehingga kita akan mengeliminasi p dulu.

Untuk menghilangkan peubah p, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing p dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1

−p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1

2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2

Agar ketiga koefisien q sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dan kedua dengan 2, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

p + 2q + 4r	=	1	|× 2|	→	2p + 4q + 8r	=	2
−p + 4q + 12r	=	0	|× 2|	→	−2p + 8q + 24r	=	0
2p + 8q + 4r	=	−1	|× 1|	→	2p + 8q + 4r	=	−1

Setelah koefisien p ketiga persamaan sudah sama, maka langsung saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa hingga variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2p + 4q + 8r	=	2
−2p + 8q + 24r	=	0	+
12q + 32r	=	2

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

−2p + 8q + 24r	=	0
2p + 8q + 4r	=	−1	+
16q + 28r	=	−1

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

12q + 32r = 2

16q + 28r = −1

2. Metode Substitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p sebagai berikut.

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q = 2 – 32r

Kemudian, agar persamaan q di atas dapat disubtitusikan pada SPLDV kedua, kita sedikit modifikasi SPLDV menjadi bentuk seperti berkut.

⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal]

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi]

Kemudian masukkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tersebut.

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1

⇒ 4/3(2 – 32r) + 28r = −1

⇒ 8/3 – 128r/3 + 28r = −1

Kalikan kedua ruas dengan angka 3

⇒ 8 − 128r + 84r = −3

⇒ −128r + 84r = −3 – 8

⇒ −44r = −11

⇒ r = −11/−44

⇒ r = 1/4

Kemudian untuk menentukan nilai q, kita subtitusikan nilai r = 1/4  ke dalam salah satu SPLDV, misalnya persamaan 12q + 32r = 2 sehingga kita peroleh:

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q + 32(1/4 ) = 2

⇒ 12q + 8 = 2

⇒ 12q = 2 – 8

⇒ 12q = –6

⇒ q = –6/12

⇒ q = –1/2

Setelah nilai q dan r diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/2 dan r = 1/4  ke salah satu SPLTV di atas, misalnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sehingga kita peroleh:

⇒ p + 2q + 4r = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p – 1 + 1 = 1

⇒ p + 0 = 1

⇒ p = 1

Sampai disini kita sudah berhasil mendapatkan nilai p = 1, q = –1/2 dan r = 1/4 . Langkah terakhir adalah menentukan nilai x, y, dan z dengan menggunakan permisalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut.

1/x	=	p		1/y	=	q		1/z	=	r
1/x	=	1		1/y	=	–1/2		1/z	=	1/4
x	=	1		y	=	–2		z	=	4

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −2, dan z = 4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(1 , −2, 4)}.