Persamaan dan Pertidaksamaan Rasional

 Persamaan Rasional

Persamaan rasional adalah pecahan dengan satu variabel atau lebih pada bagian pembilang atau penyebut. Persamaan rasional adalah pecahan apapun yang melibatkan setidaknya satu persamaan rasional. Ciri-ciri persamaan rasional ini biasanya tidak mempunyai bentuk akar (√). Adapun bentuk umum persamaan rasional adalah sebagai berikut:

Cara menyelesaikan persamaan rasional:

1.     Pindahkan semua variabel kesebelah kiri dan yang bukan variabel kesebelah kanan, atau sebaliknya (tentunya sesuai aturan matematika).

2.      Tuliskan HP (Himpunan Penyelesaian).

Contoh soal:

1. 

2. 

Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan merupakan kalimat matematika terbuka yang menggunakan sebuah tanda > (lebih dari), < (kurang dari) ≤ (kurang dari atau sama dengan) dan  ≥ (lebih dari atau sama dengan). Pertidaksamaan rasional ialah suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi rasional, yang mana fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk f(x)/g(x) dengan syarat g(x) ≠ 0.

Bentuk umum pertidaksamaan Rasional:

Untuk menyelesaikan himpunan pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan mengunakan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Himpunan kita nyatakan kedalam bentuk umum.
2. Tentukan pembuat nol pada pembilang dan penyebutnya.
3. Tulis terlebih dahulu pembuat nol pada garis bilangan dan tentukan tanda untuk tiap-tiap interval pada garis bilangan.
4. Tentukan daerah penyelesaian yakni untuk pertidaksamaan “>” atau “≥” daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif dan untuk pertidaksamaan  “<” atau “≤” daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negaitf.
5. Dengan memperhatikan syarat bahwa penyebut tidak sama dengan nol, tulis himpunan penyelesaian yaitu interval yang memuat daerah penyelesaiannya.

Contoh soal:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 

    Pembuat nol adalah

    x − 3 = 0  ⇒ x = 3
    x + 1 = 0  ⇒ x = −1

    Syarat :
    x + 1 ≠ 0  ⇒ x ≠ −1

    Untuk interval x < −1, ambil x = −2 : 

    Untuk interval −1 < x ≤ 3, ambil x = 0 : 

    Untuk interval x > 3, ambil x = 4 : 

    

    Sebab pertidaksamaan bertanda “≥”, maka daerah penyelesaiannya berada pada interval yang bertanda positif (+).

HP = {x < −1 atau x ≥ 3}

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 

    Pembuat nol adalah :

    (x − 1)(x − 1) = 0  ⇒ x = 1
    x + 2 = 0  ⇒ x = −2

    Syarat :
    x + 2 ≠ 0  ⇒ x ≠ −2

    Sebab pertidaksamaan bertanda “<“, maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negatif (−).
HP = {x < −2}

3. 

4. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

    Penyelesaian:

    Dari bentuk terakhir kita mendapatkan pembuat nol (0) yaitu:

    Nilai faktor pembilang adalah x=-2

    Nilai faktor penyebut adalah x=3

    Dengan menguji nilai-nilai x akan diperoleh:

    Karena nilai pertidaksamaan yang diminta adalah negatif (<0)

    HP = {x|-2<=x<3}

5. Tentukan cara penyelesaian pada pertidaksamaan disamping ini  

    Berikut Cara Penyelesaiannya :

    Langkah awal nyatakan suatu pertidaksamaan diatas dalam bentuk umumnya seperti berikut ini

Karena hasil langkah awal pertidaksamaan tersebut sudah bernilai positif atau tidak nol hasilnya, maka berlaku sebagai berikut :

HP= {−5 < x < −4}