Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

-

Persamaan Nilai Mutlak

Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat variabel di dalam tanda mutlak. Masalah muncul ketika ditanya penyelesaian persamaan nilai mutlak. Penyelesaian yang dimaksud di sini adalah nilai-nilai variabel yang membuat persamaan menjadi benar. Penyelesaian persamaan nilai mutlak dapat dilakukan dengan menerapkan definisi dan sejumlah sifat (teorema) nilai mutlak. Keterampilan aljabar dan logika (konjungtif-disjungtif) harus diasah untuk memahami materi ini dengan baik.

Persamaan nilai mutlak adalah nilai mutlak dari angka yang dapat didefinisikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis angka tanpa perlu memperhatikan bagaimana arahnya.

Nilai mutlak dari angka x juga dapat diartikan sebagai jarak angka di atas titik 0 pada garis angka terlepas dari bagaimana itu terjadi. Ini berarti bahwa |x| = 5 memiliki dua solusi.

Itu karena ada dua angka yang jaraknya di atas 0 adalah 5 : x = -5 dan x = 5.

Berikut sifat-sifat angka mutlak pada umumnya pada persamaan nilai mutlak:

1. |x| ≥ 0
2. |x| = |-x|
3. |x - y| = |y - x|
4. |x| = √x²
5. |x|² = x²
6. Jika |x| < |y|, maka x² < y²
7. |xy| = |x| . |y|
8. 
9. |x - y| = |x| - |y|
10. |x + y| = |x| + |y|

Persamaan nilai mutlak dalam bentuk :
1. |f(x)| = p ↔ f(x) = p atau f(x) = -p
2. |f(x)| = |g(x)| ↔ f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x)
    |f(x)| = |g(x)| ↔ |f(x)|² = |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] = 0
3. a. |f(x)| + b |g(x)| + c = 0
4. a |f(x)|² + b |f(x)| + c = 0 dengan membuat pemisalan bahwa |f(x)| = y
    sehingga persamaannya menjadi ay² + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh |f(x)|

contoh soal: 

1. |10 - 3| = |7| = 7
2. |x - 6| = 10
  • solusi 1:
     x - 6 = 10
        x   = 10 + 6
        x   = 16
  • solusi 2:
    x - 6 = -10
        x  = -10 + 6
        x  = -4
Jadi, jawaban untuk persamaan ini yaitu 16 atau (-4)
3. |4x - 2| = |x + 7|
  • Solusi 1 :
       4x - 2 = x + 7
       4x - x = 7 + 2
            3x  = 9
               x = 9/3 = 3
  • solusi 2:
        4x - 2 = -(x + 7)
        4x - 2 = -x -7
        4x + x = -7 + 2
            5x   = -5
               x  = -5/5 = -1
Jadi, penyelesaian persamaan |4x - 2| = |x +7| adalah x = 3 atau x = -1


Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak ialah jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak didalamnya. Nilai mutlak menghitung jarak pada suatu angka dari 0 --misalnya, |x| mengukur jarak x dari nol. Pertidaksamaan nilai mutlak bisa ditemukan dan di terapkan dalam simetri, batas-batas simetris, ataupun kondisi batas.

Sifat-sifat pertidaksamaan:

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
Jika a < b maka:
  • a + c < b + c
  • a - c < b - c
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:
  • a . c < b . c
  • a/b < b/c
Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:
  • a . c > b . c
  • a/c > b/c
Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan.
Jika a < b ; a dan b sama-sama positif, maka:
  • a² < b²
Pertidaksamaan nilai mutlak dalam bentuk:
1. |f(x)| < p ↔ -p < f(x) < p
2. |f(x)| ≤ p ↔ -p ≤ f(x) ≤ p
3. |f(x)| > p ↔ f(x) > p atau f(x) < -p
4. |f(x)| ≥ p ↔ f(x) ≥ p atau f(x) ≤ -p
5. |f(x)| < |g(x)| ↔ |f(x)|² < |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] < 0
6. |f(x)| ≤ |g(x)| ↔ |f(x)|² < |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] ≤ 0
7. |f(x)| > |g(x)| ↔ |f(x)|² > |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] > 0
8. |f(x)| ≥ |g(x)| ↔ |f(x)|² ≥ |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] ≥ 0
9. 
10. a |f(x)|² + b |f(x)| + c < 0 dengan membuat pemisalan bahwa |f(x)| = y
    sehingga persamaannya menjadi ay² + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh y₁ < |f(x)| < y₂
11. a |f(x)|² + b |f(x)| + c > 0 dengan membuat pemisalan bahwa |f(x)| = y
    sehingga persamaannya menjadi ay² + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh |f(x)| < y₁ atau |f(x)| > y₂

contoh soal:

1. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |x + 1| < 3 adalah..
=  |x + 1| < 3
    Jika dan hanya jika
    -3 < x + 1 < 3
    Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2
    Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
    Hp: {x / -4 < x < 2}
    Himpunan penyelesaiannya dapat pula ditulis dengan menggunakan simbol irisan:
    {x / x > -4} ∩ {x / x < 2}
2. Selesaikanlah dari pertidaksamaan |x + 3| < 2 - x adalah..
= 
3. Selesaikanlah pertidaksamaan |3x + 2| > 5 adalah...
= 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

SOAL FUNGSI: LINEAR, KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL DAN GRAFIKNYA SERTA MEMBACA GRAFIKNYA

-
Gambar
Fungsi Linear 1.  Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. tahun A. 86  B. 74  C. 68  D. 64 E. 58 Pembahasan :  Misalkan Umur Pak Andi=x, umur Amira=y dan umur Ibu Andi=z x = 28 + y …(1) z = x – 6; atau x=z+6 …(2) x + y + z = 119 …(3) dengan melakukan operasi penjumlahan (1) pada (2) didapatkan 2x = y + z + 34 atau 2x – y – z = 34 …(4) Lakukan operasi penambahan (3) pada (4) atau x + y + z = 119 2x – y – z = 34 3x =153 Atau x = 51 Dengan melakukan substitusi x pada (1) dan (2) didapatkan Y = 23; z = 45 Sehingga jumlah umur Amira (y) dan bu Andi (z) adalah y + z = 23 + 45 = 68 Jawaban C 2.  Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 5x + y ≥ 10 2x + y ≤ 8         y ≥ 2 ditunjukkan oleh daerah . . . A. I B. II C. III D. IV E. V Pembahasan :  Terlihat pada gambar bahwa A ada...
Baca selengkapnya

FUNGSI: LINEAR, KUADRAT, RASIONAL, IRASIONAL DAN GRAFIKNYA SERTA MEMBACA GRAFIKNYA

-
Gambar
Fungsi Linear Fungsi linear adalah fungsi y =  f (x) dengan  f (x) = ax + b (a, b  ∈  R  dan a  ≠  0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom (sukubanyak) berderajat satu dalam variable x. Grafik fungsi linear y =  f (x) = ax + b dalam bidang Cartesius berupa  garis lurus  yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y. Grafik fungsi linear ini memotong sumbu Y di sebuah titik dengan ordinat y = b. Bilangan a disebut gradien atau koefisien arah dari garis lurus tersebut, dan a = tan  α dimana α merupakan sudut yang dibentuk oleh gari s lurus terhadap sumbu X positif. Perhatikan gambar grafik fungsi linear di bawah ini. Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat  adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan  persamaan kuadrat . Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah: Dengan a, b, merup...
Baca selengkapnya

FUNGSI TRIGONOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

-
Gambar
Fungsi Trigonometri Fungsi trigonometri merupakan  suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus menerus dalam periode tertentu.  Fungsi dari periode itu sendiri merupakan suatu jarak antara dua puncak/lembah atau jarak antara awal puncak dan akhir lembah. Selain itu, terdapat amplitudo yang merupakan setengah dari selisih nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Rumus amplitudo sebagai berikut: Fungsi trigonometri sederhana meliputi fungsi sinus, fungsi cosinus dan fungsi tangen. Masing-masing fungsi tersebut dijelaskan dalam bentuk  grafik baku fungsi trigonometri  seperti berikut: Grafik Fungsi Sinus, y = sin x Nilai dari sinus adalah -1 ≤ sin (x) ≤ 1   Grafik Fungsi Cosinus, y = cos x Nilai dari cosinus adalah -1 ≤ cos (x) ≤ 1   Grafik Fungsi Tangen, y = tan x Grafik tangen ini tidak mempunyai nilai maksimum. Selain itu terdapat grafik tidak baku pada fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsinya adalah:   Fungsi trigonometri m...
Baca selengkapnya