Nilai Mutlak

NILAI MUTLAK

Definisi dari nilai mutlak adalah setiap bilangan real x, nilai mutlak disimbolkan dengan |x| ditentukan oleh:

|x|:

·         +x , x > 0

·         ~0 , x = 0

·         -x , x < 0

Konsep nilai mutlak adalah seberapa jauh angka yang ada di tanda mutlak terhadap garis nol. Nilai mutlak dari setiap angka akan selalu non-negatif.

Nilai mutlak di aplikasikan di dunia nyata, dapat di tunjukkan dengan contoh speedometer yang ada di mobil atau di motor kalian, tidak peduli kita jalan menuju utara barat selatan atau timur, nilai speedometer akan terus bertambah.

Sifat-sifat pada persamaan nilai mutlak:

1.      | a | :

·         a , a > 0

·         0 , a = 0

·         -a , a < 0

Contoh :

·         |3| = 3

·         |-5| = -(-5) = 5

·         |1-√3| = -(1-√3 = -1+√3

1-1,73

-0,73

2.      |a+b| = |b+a| (Sifat Komutatif)

Contoh:

·         |1+3|  = |3+1|

|4|      = |4|

4        = 4

3.      |a-b| = |b-a|

Contoh:

·         |2-11| = |11-2|

|-9|     = |9|

9        = 9

4.      |a.b| = |a| . |b|

Contoh :

·         |4.-7|  = |4| . |-7|

|-28|   = 4 . 7

28      = 28

5.      

 

 6. |a-b|² = (a-b)² = a² - 2ab + b²

     Contoh: 

    ·   |4-3|² = (4-3)² = 4² - 2.4.3 + 3²

        16 - 24 + 9 = 1

7. |a+b|² = (a+b)² = a² + 2ab + b²

    contoh:

    ·   |8+5|² = (8+5)² = 8² + 2.8.5 + 5²

        64 + 80 + 25 = 169

8. |a|² = a²

    contoh:

    ·   |3|² = 3² = 9

9. |ax + b| :

    ·   (ax + b), untuk ax + b ≥ 0

    ·   -(ax +b), untuk ax + b < 0

Persamaan nilai mutlak dalam bentuk:

1. |f(x)| = p ↔ f(x) = p atau f(x) = -p

2. |f(x)| = |g(x)| ↔ f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x)

    |f(x)| = |g(x)| ↔ |f(x)|² = |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] = 0

3. a|f(x)| + b |g(x)| + c = 0

4. a |f(x)|² + b |f(x)| + c = 0 dengan membuat permisalan bahwa |f(x)| = y

    sehingga permasalahannya menjadi ay² + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh |f(x)|

Sifat-sifat pada pertidaksamaan nilai mutlak:

1. |f(x)| < p ↔ - p < f(x) < p,

2. |f(x)| ≤ f(x) ≤ p,

3. |f(x)| > p ↔ f(x) > p atau f(x) < - p,

4. |f(x)| ≥ p ↔ f(x) ≥ p atau f(x) ≤ - p,

5. |f(x)| < |g(x)| ↔ |f(x)|² < |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] <0,

6. |f(x)| ≤ |g(x)| ↔ |f(x)|² ≤ |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x) ≤ 0,

7. |f(x)| > |g(x)| ↔ |f(x)|² > |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x)-g(x)] > 0,

8. |f(x)| ≥ |g(x)| ↔ |f(x)|² ≥ |g(x)|² ↔ [f(x) + g(x)] [f(x) - g(x)] ≥ 0,

9.

10. a |f(x)|² + b |f(x)| + c < 0 dengan membuat pemisalan bahwa |f(x)| = y, sehingga persamaannya menjadi ay² + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh y1 < |f(x)| < y2,

11. a |f(x)|² + b |f(x)| + c > 0 dengan membuat pemisalan bahwa |f(x)| = y, sehingga persamaannya menjadi ay² + by + c = 0 diperoleh y atau diperoleh |f(x)| < y1 atau |f(x)| > y2.